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1. INTRODUCTION : DE LA STATISTIQUE A L'ANALYSE SPATIALE

1. Construction d'une distribution spatiale unidimensionnelle

• Analogie entre distribution spatiale et distribution statistique
• Signification spatiale des valeurs centrales et paramètres de dispersion
• 
  

2.2 )   Mesures de position et de dispersion dans un espace bidimensionnel

• Mesures de position (localisation du point le plus accessible)
• Mesures de dispersion spatiale (distance au point le plus accessible)

 

2.2 ) Calculs sans pondération

• Point moyen
• Distance-type

2.2 ) Calculs avec pondération

• Centre de gravité
• Distance-type pondérée

3. DETERMINATION DU POINT LE PLUS ACCESSIBLE (Point médian)

3.1 ) Détermination du point médian

• Sans pondération
• Avec pondération

3.2 ) Détermination de la dispersion autour du point médian

• Accessibilité (distance moyenne au point médian)
• Fréquences cumulées en fonction de la distance

3. DETERMINATION DES PICS DE CONCENTRATION (Points modaux)

4.1) Calcul des points modaux à l'aide d'un maillage territorial

• Densité et concentration
• Pic de densité et point modal

4.2) Calcul des points modaux sans maillage territorial

• Lissage d'une densité de population
• Pic de densité et point modal

DOCUMENT 1 : CONSTRUCTION D'UNE DISTRIBUTION SPATIALE UNIDIMENSIONNELLE

• Le tableau de position unidimensionnel qui est obtenu est formellement identique à un tableau de distribution statistique décrivant un indicateur quelconque (mortalité infantile des pays d'Europe, population des villes françaises, etc…).
• La représentation graphique unidimensionnelle des positions spatiales n'est rien d'autre qu'un diagramme de distribution .

Calculez les paramètres statistiques de cette distribution. Quelle signification spatiale peut-on leur donner ?

Centre* : …………. : …………………………………………………………..

Moyenne : …………. : …………………………………………………………..

Médiane : …………. : …………………………………………………………..

Mode : …………. : …………………………………………………………..

Etendue : …………. : …………………………………………………………..

Ecart-type : …………. : …………………………………………………………..

Ecart abs. moyen : …………. : …………………………………………………………..

Ecart abs. médian** : …………. : …………………………………………………………..

* : (maximum+minimum)/2

** : moyenne des ecarts à la médiane en valeur absolue.

Du centre et de l'étendue

De la moyenne et de l'écart absolu moyen

De la médiane et de l'écart absolu médian

De la moyenne pondérée et de l'écart absolu moyen pondéré

De la médiane pondérée et de l'écart absolu médian pondéré

Georges W. Goret est candidat à l'élection présidentielle de Transvodkavie. Il doit tenir un meeting dans la capitale, Trifouillesky, où il est attendu par 150 militants répartis en 9 comités de soutien. Les rues de la ville de Trifouillesky sont organisées selon un plan en damier.

Où Georges W. Goret doit-il localiser son meeting s'il veut satisfaire le plus de comités de soutien ? le plus de militants ?

Si Georges W. Goret veut satisfaire le maximum de comités de soutien, il considère que chaque comité a la même importance, quel que soit le nombre de militants. Il va donc procéder à des calculs non pondérés pour trouver le point moyen et la dispersion autour de ce point moyen. Les formules de calcul seront alors les suivantes 

Si Georges W. Goret veut satisfaire le maximum de militants, il considère que les comités n'ont pas la même importance. Chaque comité a une importance proportionnelle à son nombre de militants. Il va donc procéder à des calculs pondérés pour trouver le point moyen et la dispersion autour de ce point moyen.

• G est le barycentre de la population P, ce qui signifie qu’il minimise la somme des distances euclidiennes élevées au carré à tous les habitants de la population P. Ce n'est pas le point le plus proche de tous les militants (Cf. Document 4).

• Le point moyen non pondéré
a pour coordonnées mX = 41/9 = 4.6 et mY=26/9 = 2.9
• Le point moyen pondéré
a pour coordonnées mXp = 900/150 = 6 et mYp=540/150 = 3.6
• La distance type non pondérée
est égale à s _D = Ö (112.2/9) + (24.9/9) = 3.9

• La distance type pondérée est égale à s _D,P =Ö (2240/150) + (1994/150) = 5.3

DOCUMENT 4 : DETERMINATION DU POINT LE PLUS ACCESSIBLE D'UNE DISTRIBUTION SPATIALE (point médian)

La détermination du point médian n'est pas facile en distance euclidienne (déplacements possibles dans toutes les directions de l'espace). Elle est en revanche très simple en distance rectilinéaire (déplacements possibles uniquement selon deux axes orthogonaux).

1. Point médian (non pondéré)

Le point médian non pondéré est le point M minimisant la somme des distances à tous les points

Propriété : est minimum si j =M

Les paramètres de dispersion associés sont les quantiles D_M,% de la distribution des points en fonction de la distance au point médian.

Ex. La distance médiane D_M,50% est le rayon du cercle centré sur le point médian M permettant de rassembler 50% des points de la distribution.

• En distance rectilinéaire
, les coordonnées de M sont [médiane(X), médiane(Y)]. En distance euclidienne, elles ne peuvent être obtenues que par approximations successives.

(b) Point médian (pondéré)

Le point médian pondéré est le point M_P minimisant les distances à l’ensemble de la population P

Propriété : est minimum si j = M_P

Les paramètres de dispersion associés sont les quantiles D_M,P% de la distribution de la population en fonction de la distance au point médian

Ex. La distance médiane pondérée D_M,P50% est le rayon du cercle centré sur le point médian M permettant de rassembler 50% de la population P.

• En distance rectilinéaire
les coordonnées de M_P correspondent à la médiane de (X) pondérée par (P) et la médiane de (Y) pondérée par (P). En distance euclidienne, le point médian pondéré ne peut être obtenu que par approximations successives.

(c) Exemple de calcul du point médian : les élections en Transvodkavie

DOCUMENT 5 : DETERMINATION DES PICS DE CONCENTRATION D'UNE DISTRIBUTION SPATIALE (points modaux)

(a) détermination des points modaux à l'aide d'un maillage territorial

Le cas unidimensionnel

Dans le cas d'une distribution statistique (ou d'une distribution spatiale unidimensionnelle) , le mode correspond au centre de la classe qui a la fréquence moyenne (effectif/ amplitude) la plus élevée, c'est-à-dire à la zone de la distributions où les valeurs sont le plus concentrées. Si l'histogramme comporte plusieurs "pics" séparés par des "creux", la distribution est multimodale.

Le cas bidimensionnel

Dans le cas d'une distribution spatiale (bidimensionnelle), les classes correspondent à des unités territoriales, l'amplitude correspond à la surface et la fréquence moyenne à la densité spatiale (effectif/surface). Les points modaux correspondent alors aux pics de densité séparés par des espaces moins denses.

Distribution spatiale	Effectifs	Densité

On remarque que le nombre de points modaux et leur position varie en fonction du découpage territorial

(b) détermination des points modaux sans maillage territorial (lissage)

Pour éviter les inconvénients liés aux différences forme ou de taille des unités spatiales, on peut recourir à des méthodes de lissage pour trouver les points nodaux. Ces méthodes sont très nombreuses.

La méthode la plus simple consiste à utiliser une fenêtre mobile avec un diamètre fixé par l'utilisateur :

On obtient alors une carte lissée de la densité de population dans le voisinage en corrigeant les effets de bordure

Densité dans le voisinage =	population du voisinage /	surface du voisinage

Le degré de généralisation est plus ou moins important selon le rayon de lissage choisi :

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EXERCICE N°1
   
 

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