A. INDICATEURS STATISTIQUES DE POSITION

• Euclidienne
• Rectilinéaire
• Orthodromique

• Point moyen
• Point médian

• Distance-type
• Distance moyenne

B.1) Distribution des densités par rapport à un point

• Population en fonction de la distance
• Surface en fonction de la distance
• Gradient de densité

B.3) Distribution des densités par rapport à une surface
 

C. ANALYSE DE LA FORME D’UNE DISTRIBUTION

C.1) Formes et processus générateurs des distributions

• Distribution aléatoire
• Distribution concentrée
• Distribution régulière

• Méthode des quadrats
• Méthode du plus proche voisin

Document 1 : Transformation de coordonnées en matrice de distance

Tableau des coordonnées
 

i	Xi	Yi
1	20	60
2	50	60
3	10	40
4	40	40
5	180	50

Carte de localisation

Matrice des distances euclidiennes :

 

DEij	1	2	3	4	5
1	0	30	22	28	160
2	30	0	45	22	130
3	22	45	0	30	170
4	28	22	30	0	140
5	160	130	170	140	0

Matrice des distances rectilinéaires :

 

dRij	1	2	3	4	5
1	0	30	30	40	170
2	30	0	60	30	140
3	30	60	0	30	180
4	40	30	30	0	150
5	170	140	180	150	0

Matrice des distances orthodromiques :

On suppose que X est la longitude en degrés et Y la latitude en degrés :

DOij=6368*Arccos[(sin(Yi).sin(Yj))+(cos(Yi).cos(Yj).sin(Xi).sin(Xj))+cos(Xi).cos(Xj)]
 

dOij	1	2	3	4	5
1	0	7818	4451	5921	14337
2	6670	0	4342	5834	14226
3	6561	7615	4234	5747	14115
4	6452	7514	4125	5661	14004
5	6344	7412	4017	5575	13893

Document 2 : Définition et formule de calcul des points centraux et des paramètres de dispersion associé

a) Point moyen (non pondéré)

Le paramètre de dispersion associé est la distance-type s_D qui est la racine carré de la moyenne du carré des distances, c’est-à-dire la racine carrée de la somme des variances de X et de Y.

• G est le barycentre des points, ce qui signifie qu’il minimise la somme des distances euclidiennes élevées au carré à tous les points.

Le paramètre de dispersion associé est la distance-type pondérée s_D,P qui est égale à la racine carrée de la moyenne du carré des distances à tous les membres de la population P. Si on note s_X,P l’écart type de X pondéré par P et s_Y,P l’écart type de Y pondéré par P, on a :

• G est le barycentre de la population P, ce qui signifie qu’il minimise la somme des distances euclidiennes élevées au carré à tous les habitants de la population P.

Le point médian non pondéré est le point M minimisant la somme des distances à tous les points

Les paramètres de dispersion associés sont les quantilesD_M,% de la distribution des points en fonction de la distance au point médian.

Ex. La distance médiane D_M,50% est le rayon du cercle centré sur le point médian M permettant de rassembler 50% des points de la distribution.

• En distance rectilinéaire, les coordonnées de M sont [médiane(X), médiane(Y)]. En distance euclidienne, elles ne peuvent être obtenues que par approximations successives.

Le point médian pondéré est le point M_P minimisant les distances à l’ensemble de la population P

Les paramètres de dispersion associés sont les quantiles D_M,P% de la distribution de la population en fonction de la distance au point médian

Ex. La distance médiane pondérée D_M,P50% est le rayon du cercle centré sur le point médian M permettant de rassembler 50% de la population P.

• En distance rectilinéaire les coordonnées de M_P correspondent au point de croisement des deux lignes horizontales et verticales qui partagent le plan en quatre quartiers de population égales. En distance euclidienne, le point médian pondéré ne peut être obtenu que par approximations successives.

• en distance euclidienne,

• le point moyen G a pour coordonnées (62,34) avec une distance-type de 31.0
• le point moyen pondéré G_P a pour coordonnées (41,34) avec une distance-type de 34.5

• en distance rectilinéaire

• le point médian M a pour coordonnées (70,40) avec une distance médiane de 40
• le point médian pondéré M_P a pour coordonnées (35,40) avec une distance médiane de 30

Document 3 : Exemples d’utilisation du point moyen et de la distance-type

(a) Déplacement du point moyen de population en Iowa (1850-1970)

(b) Evolution de la distance-type en Iowa (1850-1970)

(c) Calcul des centres de gravité de différentes productions en Ukraine vers 1926

Document 4 : Analyse d’une distribution en fonction de la distance à un point de référence.

(a) Distribution de la population de Yaoundé en fonction de la distance au centre en 1987
 

Distance	Surface		Population en 1987		Densité
au centre (km)	km2	%	hab.	%	hab./km2	indice 100
[0;1[	3.8	1%	2700	0%	703	29
[1;1.5[	2.5	1%	28000	4%	11111	461
[1.5;2[	6.4	2%	84900	14%	13245	549
[2;2.5[	5.7	2%	74600	12%	12997	539
[2.5;3[	5.7	2%	67700	11%	11877	492
[3;3.5[	18.2	7%	144600	23%	7941	329
[3.5;4[	9.0	3%	57300	9%	6346	263
[4;4.5[	4.2	2%	20200	3%	4798	199
[4.5;5[	15.3	6%	36400	6%	2373	98
[5;5.5[	19.1	7%	37700	6%	1974	82
[5.5;6[	26.5	10%	27300	4%	1032	43
[6;6.5[	14.5	6%	10000	2%	690	29
[6.5;7[	26.8	10%	7600	1%	283	12
[7;7.5[	6.9	3%	1300	0%	190	8
[7.5;8[	3.3	1%	2700	0%	828	34
[8;8.5[	23.2	9%	9500	2%	410	17
[8.5;9[	9.6	4%	1200	0%	125	5
[9;9.5[	58.3	23%	11200	2%	192	8
Total	259.1	100%	624900	100%	2412	100

N.B. Les calculs sont effectués à l’aide du centroïde des chefferies : c’est pourquoi la croissance des surfaces n’est pas régulière.

(b) Forme de la décroissance de la densité de population en fonction de la distance au centre à Yaoundé en 1987

Source : Bopda A., 1997, Yaoundé dans la construction nationale au Cameroun : territoire urbain et intégration, Thèse, Université Paris 1, 2 vol.;

Document 5 : Test de la forme d’une distribution

(a) forme d’une distribution de points

• une distribution est aléatoire (distribution de Poisson) si

(2) la position d’un point nouveau est indépendante de la position des points précédents

• une distribution aura tendance à être concentrée si

(2) la localisation d’un premier point favorise l’apparition d’autres points à proximité

• une distribution aura tendance à être régulière si

(2) la localisation d’un premier point défavorise l’apparition d’autres points à proximité
 
 
 
 

(b) Méthode des quadrats

(1) Soit un semis de N points distribués sur un espace E

(2) On recouvre l’espace E d’un ensemble de K mailles de formes régulières. Le nombre moyen de points par maille est égale à D=N/K

(3) On associe à chaque maille i le nombre Di de points qu’elle contient, puis on calcule la variance du nombre de points par maille V(D) et on en déduit l’indice de concentration

IC=V(D)/D

IC» 1 : distribution aléatoire (loi de Poisson)

IC>1 : distribution plutôt concentrée

IC<1 : distribution plutôt régulière

(4) On dénombre les nombre de mailles en fonction du nombre de points qu’elles contiennent. On note K(n) le nombre de mailles comportant n points.

(5) On détermine les effectifs théoriques K*(n) qui seraient obtenus si la distribution était aléatoire à l’aide de la formule suivante :

(6) On teste l’égalité des deux distributions K(n) et K*(n) à l’aide d’un test du Chi-2. En fonction des résultats du test on conclue au caractère aléatoire ou non aléatoire de la distribution observée.
 
 
 
 

(c) Exemple d’application de la méthode des quadrats

 

Nombre de	Nombre de	Nombre de	Ecarts à la moyenne
points	quadrats	points
n	K	n.K	(n-D)	K(n - D)2
0	25	0	-1.071	28.676
1	15	15	-0.071	0.076
2	8	16	0.929	6.904
3	5	15	1.929	18.605
4	1	4	2.929	8.579
5	2	10	3.929	30.874
Total	56	60		93.714
Densité moyenne D = nb. de points / nb. de quadrats = 60/56 = 1.071
Variance V(D) = 93.714 / 55 = 1.704
Indice de concentration IC = V(D)/D= 1.590

n	Observé	Théorique	(O-E)2/E
0	25	19.2	1.762
1	15	20.6	1.502
2	8	11.0	0.823
3 et +	8	5.2	1.444
Total	56	56	5.531
Nombre de degrés de liberté = nb. de classes -1 = 4-1=3
Chi2 (3, 0.01) = 11.34
Chi2 (3, 0.05) = 7.82
Chi2 (3, 0.10) = 6.25
Chi2 (3,0.20) = 4.64

• Conclusion : La distribution semble concentrée (IC> 1) mais on ne peut pas rejeter l’hypothèse qu’elle soit aléatoire (risque d’erreur > 20%).

(1) Soit un semis de N points distribués sur un espace de surface S. On note d la densité moyenne de points par unité de surface à l’intérieur de l’espace considéré (d=N/S)

(2) On calcule pour chaque point i la distance D_min(i) qui le sépare de son voisin le plus proche.

(3) On calcule ensuite la moyenne des distances observées au plus proche voisin D_O

(4) On détermine la distance théorique moyenne au plus proche voisin D_T dans le cas d’une distribution aléatoire à l’aide de la formule :

(5) On calcule l’indice de dispersion qui est le rapport entre ces deux distances :

R=D_O/D_T

(6) On peut enfin tester le caractère aléatoire de la distribution à l’aide d’un test paramétrique (Cf. manuels d’analyse spatiale).
 
 

Signification des valeurs de R

1. Exemple d’application de la méthode du plus proche voisin